Absolútna hodnota

   Definícia

   Absolútnu hodnotu reálneho čísla a označujeme |a|.

   Absolútnou hodnotou reálneho čísla je vždy číslo nezáporné.

   Geometrický význam absolútnej hodnoty

   Absolútnou hodnotou reálneho čísla a (|a|) rozumieme vzdialenosť obrazu čísla a na číselnej osi

   od začiatku číselnej osi.

   Hodnota |a-b| určuje vzdialenosť obrazov čísel a, b na číselnej osi.

   Rovnice a nerovnice s absolútnou hodnotou

   Sú také rovnice(nerovnice), v ktorých neznáma, resp. výraz, ktorý obsahuje neznámu sa nachádza

   v absolútnej hodnote.

   Riešiť rovnice (nerovnice) s absolútnymi hodnotami znamená v prvom kroku riešenia odstrániť

   na základe definície absolútnu hodnotu z rovnice (nerovnice), pričom riešenie úlohy sa rozdelí

   na dve častí.

   V niektorých prípadoch je možné riešiť rovnicu s absolútnou hodnotiu tak, že obe strany rovnice

   umocníme. Keďže umocňovanie je neekvivalentnou úpravou, súčasťou riešenia úlohy musí byť

   aj skúška. 

   Efektívnym spôsobom riešenia rovnice(nerovnice) s viacerými absolútnymi hodnotami je použiť

   metódu nulových bodov.

   Príklad 1.  Riešte v R:  |x-2|=5

   Riešenie:

   1. možnosť ... vychádzajúc z geometrického významu absolútnej hodnoty, hľadáme také číslo x,

                        kt. obraz na číselnej osi je od obrazu čísla 2 vzdialený 5 jednotiek.

                           K={-3; 7}

   2. možnosť ... vychádzajúc z definície absolútnej hodnoty, úloha sa rozdelí na dve časti.

                        V prvej časti budeme  riešiť rovnicu pre prípad, že  x-2  je nezáporné,

                        v druhej časti pre prípad, že  x-2  je záporné.

                           1.)

                            2.) 

                            K={-3; 7}

   3. možnosť ... obe strany rovnice sú nezáporné výrazy, preto môžeme celú rovnicu umocniť,

                        po umocnení vzniká kvadratická rovnica, ktorú je možné riešiť  pomocou diskriminantu,

                        alebo vhodnými úpravami na súčinový tvar.

                          K={-3; 7}

   Príklad 2.  Riešte v R:  |x+1|+2|6-x|=10

   Riešenie:  Využijeme metótu nulových bodov. Nulové body sú také čísla, pre ktoré výrazy

                  v absolútnych hodnotách majú hodnotu rovnú nule. V našom prípade nulové body

                  získame po vyriešení rovníc   x+1=0  a  6-x=0.

                  Nulové body : -1; 6

                  Množinu reálnych čísel rozdelíme pomocou nulových bodov na tri intervaly a na každom

                  z týchto intervalov budeme riešiť príslušnú vzniknutú rovnicu bez absolútnych hodnôt.

                    1.) 

                               Riešenie rovnice nepatrí prvému intervalu, preto nie je riešením zadanej

                               rovnice s absolútnou hodnotou.

                    2.)

                    3.)

                       K={3; 7}

            Príklady na precvičenie     1B_Zb_AbsolutnaHodnota.pdf (121,7 kB)